线性代数示例

$[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 2

大小为 $2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 0.4 & 1 - c \\ 0.6 & c \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c + 0 \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $1 - c$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 + 0 & c - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $0.6$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 0.4 - λ & 1 - c \\ 0.6 & c - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (0.4 - λ) (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(0.4 - λ) (c - λ)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0.4 (c - λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ (c - λ) - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0.4 c + 0.4 (- λ) - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0.4$ 。

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - λ (- λ) - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2.1.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2.1.2.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.3.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2.1.2.3.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + 1 λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2.1.2.5

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 (1 - c)$

解题步骤 5.2.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 \cdot 1 - 0.6 (- c)$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 0.6$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 - 0.6 (- c)$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 0.6$ 。

$p (λ) = 0.4 c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6 + 0.6 c$

解题步骤 5.2.2

将 $0.4 c$ 和 $0.6 c$ 相加。

$p (λ) = c - 0.4 λ - λ c + λ^{2} - 0.6$

解题步骤 5.2.3

移动 $λ$ 。

$p (λ) = c - 0.4 λ - 1 c λ + λ^{2} - 0.6$

解题步骤 5.2.4

移动 $- 0.4 λ$ 。

$p (λ) = c - 1 c λ + λ^{2} - 0.4 λ - 0.6$

解题步骤 5.2.5

移动 $c$ 。

$p (λ) = - 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$- 1 c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- 1 c$ 重写为 $- c$ 。

$- c λ + λ^{2} + c - 0.4 λ - 0.6 = 0$

解题步骤 7.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.3

将 $a = 1$ 、 $b = - c - 0.4$ 和 $c = c - 0.6$ 的值代入二次公式中并求解 $λ$ 。

$\frac{- (- c - 0.4) \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (c - 0.6))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4

化简。

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解题步骤 7.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.1.1

运用分配律。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.2

乘以 $- - c$ 。

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解题步骤 7.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$λ = \frac{1 c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.2.2

将 $c$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 0.4$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(- c - 0.4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.4

将 ${(- c - 0.4)}^{2}$ 重写为 $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{(- c - 0.4) (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(- c - 0.4) (- c - 0.4)$ 。

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解题步骤 7.4.1.5.1

运用分配律。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c - 0.4) - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.5.2

运用分配律。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c - 0.4) - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.5.3

运用分配律。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- c (- c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.4.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c \cdot c) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6.1.2

通过指数相加将 $c$ 乘以 $c$ 。

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解题步骤 7.4.1.6.1.2.1

移动 $c$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (c \cdot c)) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6.1.2.2

将 $c$ 乘以 $c$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 c^{2}) - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{1 c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6.1.4

将 $c^{2}$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - c \cdot - 0.4 - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6.1.5

将 $- 0.4$ 乘以 $- 1$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c - 0.4 (- c) - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 0.4$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c - 0.4 \cdot - 0.4 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6.1.7

将 $- 0.4$ 乘以 $- 0.4$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.4 c + 0.4 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.6.2

将 $0.4 c$ 和 $0.4 c$ 相加。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot 1 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.7

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 \cdot (c - 0.6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.8

运用分配律。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c - 4 \cdot - 0.6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.9

将 $- 4$ 乘以 $- 0.6$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} + 0.8 c + 0.16 - 4 c + 2.4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.10

从 $0.8 c$ 中减去 $4 c$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 0.16 + 2.4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.11

将 $0.16$ 和 $2.4$ 相加。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + 2.56}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.12

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 7.4.1.12.1

将 $2.56$ 重写为 ${1.6}^{2}$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 3.2 c + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.12.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$3.2 c = 2 \cdot c \cdot 1.6$

解题步骤 7.4.1.12.3

重写多项式。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{c^{2} - 2 \cdot c \cdot 1.6 + {1.6}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.12.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = c$ 和 $b = 1.6$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm \sqrt{{(c - 1.6)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.1.13

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{c + 0.4 \pm (c - 1.6)}{2}$

解题步骤 7.5

最终答案为两个解的组合。

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$

$λ = \frac{5 c - 3}{5}$

$λ = 1$

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